האם ילדים של מתגיירת חייבים בגיור?

סמדר, שלום רב!
קודם לכל אומר שאין לקחת את דברי כפסיקת הלכה (לשם כך עלייך לשאול רב פוסק), אלא רק כמתן כיוון הפסיקה העיקרי שקיים כיום, לפי הידוע לי.
באופן עקרוני, "תהליך גיור" של אישה בימינו מסתיים בדרך כלל בטבילה. כל עוד האישה טבלה לאחר הולדת בנה, הוא חייב בגיור נפרד. מעבר לכך, ישנם דיונים בהלכה, מה דינו של תינוק שאמו טבלה בעוד הוא ברחמה, האם מילתו דוחה שבת? יסוד הספק הוא בשאלה האם טבילת אימו מועילה גם עבורו. להלכה נפסק לרוב שאמנם טבילת אימו מועילה, וממילא מילתו דוחה שבת, אך הבאתי דיון זה כדי להבהיר שלגבי תינוק שנולד לפני הטבילה, אין בכלל ספק שהוא צריך גיור בנפרד.
בהלכה, יש דיונים רבים בנוגע לגיור קטנים, בעיקר סביב שאלת "דעת" של קטנים כפי שפוסק הרמב"ם בפרק י"ג הלכה ד' מהלכות איסורי ביאה: "… כשירצה העכו"ם להיכנס לברית ולהסתופף תחת כנפי השכינה, ויקבל עליו עול תורה…", אך את זה כבר נשאיר לפעם אחרת.
בברכה,
אביעד, חברים מקשיבים